Convexité et points d'inflexion Terminale

Une fonction est convexe quand sa courbe est au-dessus de ses tangentes (forme de « cuvette »), concave dans le cas contraire. L'outil de diagnostic est la dérivée seconde f″.

📌 Les formules à connaître

Critère de convexité
Équivalent : f′ est croissante ; la courbe est au-dessus de ses tangentes.		 f convexe sur I ⟺ f″(x) ≥ 0 sur I
Concavité
La courbe est en dessous de ses tangentes.		 f concave sur I ⟺ f″(x) ≤ 0 sur I
Point d'inflexion
La courbe traverse sa tangente : changement de courbure.		 f″ s'annule en changeant de signe en a
Exemples à connaître x² et eˣ convexes sur ℝ ; ln concave sur ]0;+∞[ ; x³ : inflexion en 0

🧮 Convexité de f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Résultat

f″(x) = 6x − 12 : point d'inflexion en x = 2

    Modifie les valeurs : le résultat se met à jour instantanément.

    ✏️ Exemples corrigés

    Étudier la convexité de f(x) = x³.
    f″(x) = 6x : négative puis positive, s'annule en 0 en changeant de signe → point d'inflexion en (0 ; 0) ; concave sur ]−∞ ; 0], convexe sur [0 ; +∞[.
    La fonction exponentielle est-elle convexe ?
    (eˣ)″ = eˣ > 0 sur ℝ : convexe sur ℝ.

    📝 Exercices d'entraînement

    1. Exercice 1. Soit f(x) = x³ − 6x² + 5x. Étudie la convexité de f.

      Voir la correction
      f′(x) = 3x² − 12x + 5, f″(x) = 6x − 12. f″(x) ≥ 0 ⟺ x ≥ 2 : f est concave sur ]−∞ ; 2], convexe sur [2 ; +∞[, avec un point d'inflexion en x = 2.

    2. Exercice 2. Montre que la fonction exponentielle est convexe sur ℝ.

      Voir la correction
      (eˣ)′ = eˣ et (eˣ)″ = eˣ. Or eˣ > 0 pour tout x : f″ > 0 sur ℝ, donc exp est convexe — sa courbe est au-dessus de toutes ses tangentes, par exemple y = x + 1 (tangente en 0).

    3. Exercice 3. Étudie la convexité de ln sur ]0 ; +∞[.

      Voir la correction
      (ln x)′ = 1⁄x et (ln x)″ = −1⁄x². Or −1⁄x² < 0 pour tout x > 0 : ln est concave sur ]0 ; +∞[ (courbe sous ses tangentes).

    🎯 S'entraîner avec des exercices générés

    Un énoncé différent à chaque fois : réponds, vérifie, et enchaîne les questions. Tout se passe dans ton navigateur.

    Chargement de la première question…

    ❓ Questions fréquentes

    Convexe et croissante, c'est pareil ?
    Non, ce sont deux notions indépendantes ! La convexité parle de la courbure (signe de f″), la croissance du sens de variation (signe de f′). eˣ est croissante ET convexe ; x² est décroissante puis croissante mais convexe partout.
    À quoi sert la convexité en pratique ?
    À localiser une courbe par rapport à ses tangentes et sécantes (inégalités classiques comme eˣ ≥ x + 1), et à repérer les changements de tendance (accélération/ralentissement d'un phénomène) au point d'inflexion.