Loi binomiale Terminale

La loi binomiale B(n ; p) compte le nombre de succès dans n répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès p.

📌 Les formules à connaître

Probabilité
C(n,k) = « k parmi n », le nombre de chemins.		 P(X = k) = C(n,k) × pᵏ × (1−p)ⁿ⁻ᵏ
Espérance
Nombre moyen de succès.		 E(X) = n × p
Variance / écart-type V(X) = np(1−p) ; σ = √V

🧮 Calculer P(X = k)

Résultat

P(X = 5) = C(10,5) × 0,5⁵ × 0,5⁵ ≈ 0,2461

    Modifie les valeurs : le résultat se met à jour instantanément.

    ✏️ Exemples corrigés

    On lance 10 fois une pièce. P(exactement 5 piles) ?
    X ~ B(10 ; 0,5) : P(X=5) = C(10,5)/2¹⁰ = 252/1024 ≈ 0,246.
    QCM de 20 questions à 4 choix, réponses au hasard. Espérance de bonnes réponses ?
    E(X) = 20 × 0,25 = 5.

    📝 Exercices d'entraînement

    1. Exercice 1. X suit la loi B(5 ; 0,3). Calcule P(X = 2) (arrondi au dix-millième).

      Voir la correction
      P(X = 2) = C(5,2) × 0,3² × 0,7³ = 10 × 0,09 × 0,343 = 0,3087.

    2. Exercice 2. X suit la loi B(20 ; 0,1). Calcule E(X), V(X) et σ (arrondi au centième).

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      E(X) = 20 × 0,1 = 2. V(X) = 20 × 0,1 × 0,9 = 1,8. σ = √1,8 ≈ 1,34.

    3. Exercice 3. On lance 4 fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un pile ?

      Voir la correction
      Événement contraire : « aucun pile » de probabilité (½)⁴ = 1⁄16. Donc P(au moins un pile) = 1 − 1⁄16 = 15⁄16 ≈ 0,94.

    🎯 S'entraîner avec des exercices générés

    Un énoncé différent à chaque fois : réponds, vérifie, et enchaîne les questions. Tout se passe dans ton navigateur.

    Chargement de la première question…

    ❓ Questions fréquentes

    Quand utiliser la loi binomiale ?
    Quand on répète n fois la même expérience à deux issues (succès/échec), de façon indépendante, avec la même probabilité p à chaque fois.