Suites et raisonnement par récurrence Terminale

En Terminale, on démontre des propriétés sur les suites grâce au raisonnement par récurrence et on étudie leur limite, notamment pour les suites arithmético-géométriques uₙ₊₁ = a·uₙ + b.

📌 Les formules à connaître

Raisonnement par récurrence
Comme une rangée de dominos : le premier tombe, et chaque domino fait tomber le suivant.		 initialisation (P(0) vraie) + hérédité (P(n) ⟹ P(n+1)) ⟹ P(n) vraie pour tout n
Suite arithmético-géométrique
Si a = 1 : arithmétique ; si b = 0 : géométrique.		 uₙ₊₁ = a × uₙ + b
Point fixe (limite éventuelle)
Si la suite converge (|a| < 1), c'est vers ℓ.		 ℓ = a·ℓ + b ⟺ ℓ = b ⁄ (1 − a)
Limites de qⁿ
Brique de base pour les limites de suites géométriques.		 qⁿ → 0 si |q| < 1 ; qⁿ → +∞ si q > 1

🧮 Calculer les termes de uₙ₊₁ = a·uₙ + b

Résultat

u₁ = 8 ; u₂ = 7 ; … ; u₁₀ ≈ 6,004 → converge vers ℓ = 6

    Modifie les valeurs : le résultat se met à jour instantanément.

    ✏️ Exemples corrigés

    u₀ = 10 et uₙ₊₁ = 0,5uₙ + 3. Calculer u₁, u₂ et la limite.
    u₁ = 0,5 × 10 + 3 = 8 ; u₂ = 0,5 × 8 + 3 = 7. Limite : ℓ = 3 ⁄ (1 − 0,5) = 6.

    📝 Exercices d'entraînement

    1. Exercice 1. Soit u₀ = 5 et uₙ₊₁ = 2uₙ − 3. Calcule u₁ et u₂.

      Voir la correction
      u₁ = 2 × 5 − 3 = 7 ; u₂ = 2 × 7 − 3 = 11.

    2. Exercice 2. La suite uₙ₊₁ = 0,8uₙ + 1 converge. Calcule sa limite.

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      La limite vérifie ℓ = 0,8ℓ + 1, donc 0,2ℓ = 1 et ℓ = 5.

    3. Exercice 3. Soit u₀ = 2 et uₙ₊₁ = 2uₙ − 1. Démontre par récurrence que uₙ = 2ⁿ + 1.

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      Initialisation : 2⁰ + 1 = 2 = u₀ ✓. Hérédité : si uₙ = 2ⁿ + 1, alors uₙ₊₁ = 2(2ⁿ + 1) − 1 = 2ⁿ⁺¹ + 2 − 1 = 2ⁿ⁺¹ + 1 ✓. Conclusion : pour tout n, uₙ = 2ⁿ + 1.

    🎯 S'entraîner avec des exercices générés

    Un énoncé différent à chaque fois : réponds, vérifie, et enchaîne les questions. Tout se passe dans ton navigateur.

    Chargement de la première question…

    ❓ Questions fréquentes

    Pourquoi l'initialisation est-elle indispensable ?
    Sans elle, l'hérédité ne démarre jamais : « si un domino tombe, le suivant tombe » ne sert à rien si aucun domino ne tombe. Exemple piège : P(n) : « 3 divise 4ⁿ » est héréditaire… mais fausse pour tout n.
    Une suite croissante converge-t-elle toujours ?
    Non : elle peut tendre vers +∞ (comme uₙ = n). Mais une suite croissante ET majorée converge toujours — c'est le théorème de convergence monotone, très utilisé avec la récurrence.