Limites de fonctions Terminale

La limite décrit le comportement de f(x) quand x s'approche d'une valeur ou tend vers ±∞. Asymptotes et croissances comparées en découlent.

📌 Les formules à connaître

Limites usuelles en +∞ xⁿ → +∞ ; 1/xⁿ → 0 ; eˣ → +∞ ; ln x → +∞
Croissances comparées
L'exponentielle l'emporte sur les puissances, qui l'emportent sur le logarithme.		 eˣ/xⁿ → +∞ ; ln(x)/x → 0 (x → +∞)
Formes indéterminées
Il faut transformer l'expression (factoriser par le terme dominant…).		 « ∞ − ∞ », « 0 × ∞ », « ∞/∞ », « 0/0 »
Asymptote horizontale
Verticale : f(x) → ±∞ quand x → a.		 si f(x) → L quand x → +∞, la droite y = L est asymptote

🧮 Limite en +∞ d'une fonction rationnelle

Résultat

Degrés égaux : limite = 2 ⁄ 1 = 2 (asymptote horizontale y = 2)

    Modifie les valeurs : le résultat se met à jour instantanément.

    ✏️ Exemples corrigés

    Limite de (2x² + 1)/(x² + 3) en +∞.
    On factorise par x² : → 2/1 = 2. Asymptote y = 2.
    Limite de x e⁻ˣ en +∞.
    Forme 0 × ∞ ; par croissances comparées, eˣ domine x : limite = 0.

    📝 Exercices d'entraînement

    1. Exercice 1. Calcule la limite en +∞ de (3x² + 5) ⁄ (x² + 1).

      Voir la correction
      Termes dominants : 3x² ⁄ x². Degrés égaux : la limite est le rapport des coefficients dominants, soit 3. La droite y = 3 est asymptote horizontale.

    2. Exercice 2. Calcule la limite en +∞ de x² e⁻ˣ.

      Voir la correction
      x² e⁻ˣ = x² ⁄ eˣ : forme ∞/∞. Par croissances comparées, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance : limite = 0.

    3. Exercice 3. Quelle est la limite de 1 ⁄ x quand x → 0⁺ (par valeurs positives) ?

      Voir la correction
      On divise 1 par un nombre positif de plus en plus petit : la limite est +∞. La droite x = 0 (l'axe des ordonnées) est asymptote verticale.

    🎯 S'entraîner avec des exercices générés

    Un énoncé différent à chaque fois : réponds, vérifie, et enchaîne les questions. Tout se passe dans ton navigateur.

    Chargement de la première question…

    ❓ Questions fréquentes

    Comment lever une forme indéterminée ∞/∞ ?
    Factorisez numérateur et dénominateur par leur terme de plus haut degré, puis simplifiez.