Logarithme népérien Terminale

Le logarithme népérien ln est la fonction réciproque de l'exponentielle : ln(eˣ) = x et e^(ln x) = x (pour x > 0). Il transforme les produits en sommes.

📌 Les formules à connaître

Propriété fondamentale
a, b > 0.		 ln(a × b) = ln(a) + ln(b)
Autres propriétés ln(a/b) = ln a − ln b ; ln(aⁿ) = n ln a ; ln(√a) = ½ ln a
Valeurs clés ln(1) = 0 ; ln(e) = 1
Équation eˣ = k
Et ln(x) = k ⟺ x = e^k.		 x = ln(k) (k > 0)
Dérivée
x > 0.		 (ln x)′ = 1/x ; (ln u)′ = u′/u

🧮 Résoudre eˣ = k

Résultat

x = ln(10) ≈ 2,303

    Modifie les valeurs : le résultat se met à jour instantanément.

    ✏️ Exemples corrigés

    Résoudre e^(2x) = 5.
    2x = ln 5, donc x = ln(5)/2 ≈ 0,805.
    Simplifier ln(8) − ln(2).
    ln(8/2) = ln(4) = 2 ln 2.

    📝 Exercices d'entraînement

    1. Exercice 1. Simplifie ln(50) − ln(2).

      Voir la correction
      ln(50 ⁄ 2) = ln(25) = ln(5²) = 2 ln 5.

    2. Exercice 2. Résous e^(2x) = 7 (valeur exacte puis arrondie au centième).

      Voir la correction
      2x = ln 7, donc x = ln(7) ⁄ 2 ≈ 1,9459 ÷ 2 ≈ 0,97.

    3. Exercice 3. Résous ln(x) = 3.

      Voir la correction
      On applique l'exponentielle : x = e³ ≈ 20,09. (Toujours vérifier x > 0 : c'est le cas.)

    🎯 S'entraîner avec des exercices générés

    Un énoncé différent à chaque fois : réponds, vérifie, et enchaîne les questions. Tout se passe dans ton navigateur.

    Chargement de la première question…

    ❓ Questions fréquentes

    Pourquoi ln n'est-il défini que pour x > 0 ?
    Parce que eˣ ne prend que des valeurs strictement positives : on ne peut « remonter » que depuis un nombre positif.
    Quelle différence entre ln et log ?
    ln est le logarithme de base e ; log (logarithme décimal) est de base 10 : log(10ⁿ) = n. On a log x = ln x / ln 10.