La dérivation Première
La dérivée f′(x) mesure la pente de la courbe de f au point d'abscisse x. Son signe donne les variations de la fonction : f′ > 0 ⟹ f croissante.
📌 Les formules à connaître
| Dérivées usuelles À connaître par cœur. |
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ ; (k)′ = 0 ; (x)′ = 1 ; (1/x)′ = −1/x² ; (√x)′ = 1/(2√x) |
| Opérations | (u + v)′ = u′ + v′ ; (k·u)′ = k·u′ ; (uv)′ = u′v + uv′ ; (u/v)′ = (u′v − uv′)/v² |
| Tangente en a Équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse a. |
y = f′(a)(x − a) + f(a) |
🧮 Dérivée et tangente de f(x) = ax² + bx + c
Résultat
f(x) = x² : f′(x) = 2x, f′(1) = 2, tangente y = 2x − 1
Modifie les valeurs : le résultat se met à jour instantanément.
✏️ Exemples corrigés
Dériver f(x) = 3x² + 5x − 2.
f′(x) = 6x + 5.
Tangente à f(x) = x² en a = 1.
f′(x) = 2x, f′(1) = 2, f(1) = 1 → y = 2(x − 1) + 1 = 2x − 1.
📝 Exercices d'entraînement
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Exercice 1. Dérive f(x) = 5x³ − 2x² + 7x − 1.
Voir la correction
Terme à terme : (5x³)′ = 15x², (−2x²)′ = −4x, (7x)′ = 7, (−1)′ = 0. Donc f′(x) = 15x² − 4x + 7. -
Exercice 2. Soit f(x) = x² − 6x + 2. Calcule f′(x) et trouve l'extremum de f.
Voir la correction
f′(x) = 2x − 6, qui s'annule pour x = 3 (négatif avant, positif après → minimum). f(3) = 9 − 18 + 2 = −7 : minimum au point (3 ; −7). -
Exercice 3. Détermine l'équation de la tangente à f(x) = x² + 1 au point d'abscisse a = 2.
Voir la correction
f′(x) = 2x donc f′(2) = 4, et f(2) = 5. Tangente : y = 4(x − 2) + 5 = 4x − 3.
🎯 S'entraîner avec des exercices générés
Un énoncé différent à chaque fois : réponds, vérifie, et enchaîne les questions. Tout se passe dans ton navigateur.
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❓ Questions fréquentes
À quoi sert la dérivée concrètement ?
À étudier les variations d'une fonction, trouver des maximums/minimums (optimisation), et modéliser des vitesses de variation (la vitesse est la dérivée de la position).
Comment trouver un extremum ?
On cherche où f′ s'annule en changeant de signe : + → − donne un maximum, − → + un minimum.