Le second degré Première
Un trinôme du second degré s'écrit f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0). Le discriminant Δ détermine le nombre de racines de l'équation ax² + bx + c = 0.
📌 Les formules à connaître
| Discriminant | Δ = b² − 4ac |
| Δ > 0 : deux racines La parabole coupe l'axe des abscisses deux fois. |
x₁ = (−b − √Δ) ⁄ 2a ; x₂ = (−b + √Δ) ⁄ 2a |
| Δ = 0 : une racine double La parabole est tangente à l'axe. |
x₀ = −b ⁄ 2a |
| Δ < 0 : aucune racine réelle Le trinôme garde le signe de a. |
— |
| Forme factorisée (Δ ≥ 0) Sommet de la parabole : α = −b/2a. |
f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) |
🧮 Résoudre ax² + bx + c = 0
Résultat
Δ = 25 − 24 = 1 > 0 : x₁ = 2 et x₂ = 3
Modifie les valeurs : le résultat se met à jour instantanément.
✏️ Exemples corrigés
Résoudre x² − 5x + 6 = 0.
Δ = 25 − 24 = 1. x₁ = (5−1)/2 = 2, x₂ = (5+1)/2 = 3.
Résoudre x² + x + 1 = 0.
Δ = 1 − 4 = −3 < 0 : aucune solution réelle.
📝 Exercices d'entraînement
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Exercice 1. Résous 2x² − 4x − 6 = 0.
Voir la correction
Δ = (−4)² − 4 × 2 × (−6) = 16 + 48 = 64. √Δ = 8. x₁ = (4 − 8) ÷ 4 = −1 ; x₂ = (4 + 8) ÷ 4 = 3. -
Exercice 2. Résous x² + 4x + 4 = 0.
Voir la correction
Δ = 16 − 16 = 0 : une racine double x₀ = −b ⁄ 2a = −4 ÷ 2 = −2. (On pouvait aussi reconnaître (x + 2)².) -
Exercice 3. Résous x² − 2x + 5 = 0.
Voir la correction
Δ = 4 − 20 = −16 < 0 : aucune solution réelle. Le trinôme garde le signe de a = 1 : il est toujours strictement positif.
🎯 S'entraîner avec des exercices générés
Un énoncé différent à chaque fois : réponds, vérifie, et enchaîne les questions. Tout se passe dans ton navigateur.
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❓ Questions fréquentes
Que représente graphiquement le signe de a ?
Si a > 0, la parabole est tournée vers le haut (« sourire ») ; si a < 0, vers le bas.
Peut-on éviter le discriminant ?
Parfois : racines évidentes (somme = −b/a, produit = c/a), factorisation directe ou identités remarquables.