Probabilités conditionnelles Première

La probabilité conditionnelle P_A(B) est la probabilité que B se réalise sachant que A est réalisé. Les arbres pondérés en sont l'outil central au lycée.

📌 Les formules à connaître

Probabilité conditionnelle
Avec P(A) ≠ 0. On « restreint l'univers » à A.		 P_A(B) = P(A∩B) ⁄ P(A)
Probabilité de l'intersection
Sur un arbre : on multiplie les probabilités le long d'un chemin.		 P(A∩B) = P(A) × P_A(B)
Probabilités totales
On additionne tous les chemins de l'arbre qui mènent à B.		 P(B) = P(A∩B) + P(Ā∩B)
Indépendance
Équivalent à P_A(B) = P(B) : savoir A ne change rien pour B.		 A et B indépendants ⟺ P(A∩B) = P(A) × P(B)

🧮 Calculer P_A(B) = P(A∩B) ⁄ P(A)

Résultat

P_A(B) = 0,1 ÷ 0,4 = 0,25

    Modifie les valeurs : le résultat se met à jour instantanément.

    ✏️ Exemples corrigés

    P(A) = 0,6 et P_A(B) = 0,5. Calculer P(A∩B).
    P(A∩B) = 0,6 × 0,5 = 0,3 (multiplication le long du chemin de l'arbre).

    📝 Exercices d'entraînement

    1. Exercice 1. P(A) = 0,4 et P(A∩B) = 0,1. Calcule P_A(B).

      Voir la correction
      P_A(B) = P(A∩B) ÷ P(A) = 0,1 ÷ 0,4 = 0,25.

    2. Exercice 2. Arbre pondéré : P(A) = 0,3, P_A(B) = 0,8, P(Ā) = 0,7 et P_Ā(B) = 0,2. Calcule P(B).

      Voir la correction
      Probabilités totales : P(B) = 0,3 × 0,8 + 0,7 × 0,2 = 0,24 + 0,14 = 0,38.

    3. Exercice 3. P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 et P(A∩B) = 0,2. A et B sont-ils indépendants ?

      Voir la correction
      P(A) × P(B) = 0,5 × 0,4 = 0,2 = P(A∩B) : oui, A et B sont indépendants.

    🎯 S'entraîner avec des exercices générés

    Un énoncé différent à chaque fois : réponds, vérifie, et enchaîne les questions. Tout se passe dans ton navigateur.

    Chargement de la première question…

    ❓ Questions fréquentes

    Quelle différence entre P(A∩B) et P_A(B) ?
    P(A∩B) mesure la chance que A et B se produisent tous les deux, dans l'univers entier. P_A(B) suppose A déjà réalisé et mesure la chance de B dans ce monde restreint.
    Comment lire un arbre pondéré ?
    Premier niveau : probabilités « simples » (P(A), P(Ā)). Branches suivantes : probabilités conditionnelles. On multiplie le long d'un chemin, on additionne les chemins qui réalisent l'événement voulu.