Le produit scalaire Première

Le produit scalaire u·v associe un nombre à deux vecteurs. Il sert à calculer des angles, des longueurs, et surtout à caractériser l'orthogonalité : u ⊥ v ⟺ u·v = 0.

📌 Les formules à connaître

Avec les coordonnées
Dans un repère orthonormé, avec u(x ; y) et v(x′ ; y′).		 u·v = xx′ + yy′
Avec l'angle
Pour des vecteurs non nuls.		 u·v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(u, v)
Orthogonalité
Le critère le plus utilisé en exercice.		 u ⊥ v ⟺ u·v = 0
Carré scalaire
Le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même donne le carré de sa norme.		 u·u = ‖u‖² = x² + y²

🧮 Produit scalaire, angle et orthogonalité

Résultat

u·v = 3×2 + 4×(−1) = 2

    Modifie les valeurs : le résultat se met à jour instantanément.

    ✏️ Exemples corrigés

    u(3 ; 4) et v(2 ; −1). Calculer u·v.
    u·v = 3 × 2 + 4 × (−1) = 6 − 4 = 2.
    u(4 ; −2) et v(1 ; 2) sont-ils orthogonaux ?
    u·v = 4 × 1 + (−2) × 2 = 4 − 4 = 0 : oui, ils sont orthogonaux.

    📝 Exercices d'entraînement

    1. Exercice 1. u(2 ; 5) et v(3 ; −1). Calcule u·v.

      Voir la correction
      u·v = 2 × 3 + 5 × (−1) = 6 − 5 = 1.

    2. Exercice 2. Les vecteurs u(4 ; −2) et v(1 ; 2) sont-ils orthogonaux ?

      Voir la correction
      u·v = 4 × 1 + (−2) × 2 = 4 − 4 = 0 : oui, u ⊥ v.

    3. Exercice 3. ‖u‖ = 3, ‖v‖ = 5 et l'angle (u, v) mesure 60°. Calcule u·v.

      Voir la correction
      u·v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(60°) = 3 × 5 × 0,5 = 7,5.

    🎯 S'entraîner avec des exercices générés

    Un énoncé différent à chaque fois : réponds, vérifie, et enchaîne les questions. Tout se passe dans ton navigateur.

    Chargement de la première question…

    ❓ Questions fréquentes

    Le produit scalaire est-il un vecteur ?
    Non, c'est un nombre réel (un « scalaire », d'où son nom). C'est ce qui le distingue des autres opérations sur les vecteurs.
    Que signifie le signe du produit scalaire ?
    u·v > 0 : l'angle entre u et v est aigu ; u·v < 0 : angle obtus ; u·v = 0 : vecteurs orthogonaux (angle droit).